Sesión 12: PROPOSICIONES TABLAS DE VERDAD

 PROPOSICIONES TABLAS DE VERDAD

La Negación 

Éste es un conectivo que sólo afecta una variable, o bien a una expresión completa considerada como unidad. Refleja el sentido de “no” o “es falso que” del lenguaje ordinario. Vamos a representarla con la tilde “~”. 

Representa la inversión del valor de verdad de una proposición. 

Por ejemplo:

Sea P = “Hoy es lunes”. Entonces ~P significa: “Hoy no es lunes”, o “Es falso que hoy es lunes”. 

La operación de la negación puede representarse con la siguiente tabla: 

La Conjunción 

Es posible conjuntar dos o más proposiciones, es decir, la conjunción es un conectivo binario. Una conjunción es Falsa cuando cualquiera de sus componentes es Falso. Refleja el sentido de “y”, “pero”, “que”, entre otros, del lenguaje ordinario. Se representa por el símbolo “^”. 

Por ejemplo:

Sea P = “Hoy es lunes” y Q = “Hoy está lloviendo”. Entonces P ^ Q significa: “Hoy es lunes y está lloviendo”. 

La operación de la conjunción puede representarse con la siguiente tabla: 

La Disyunción 

La disyunción es también un conectivo binario. Cuando se emplea tiene al menos tres sentidos posibles:

1. Un sentido incluyente o no exclusivo. Refleja el sentido de uno, o lo otro, ambos. 

2. Un sentido excluyente. Refleja el sentido de uno, o lo otro, pero no ambos. 

3. Un sentido equivalente. Refleja el sentido de lo uno lo mismo que lo otro.

 A menos que se especifique otra cosa, siempre consideraremos el sentido incluyente de la disyunción. Por tanto, una disyunción es Falsa sólo cuando todos sus elementos son Falsos. Se representa con el símbolo "∨”. 

Por ejemplo:

Sea P = “Hoy es viernes” y Q = “Estoy contento”. Entonces P ∨ Q significa: Hoy es viernes o estoy contento.

La Implicación o Condicional 

Es también un conectivo binario. Tiene dos partes: antecedente y consecuente. El antecedente es también llamado hipótesis y tesis el consecuente. Expresa que la falsedad sí puede llevar a la verdad, pero que la verdad no puede llevar a la falsedad. Refleja el sentido de “si...entonces...”, “sólo si...”. Se representa por medio de una flecha: "→". 

Normalmente el antecedente se escribe a la izquierda y el consecuente a la derecha de la flecha. 

Por ejemplo:

Sea P = “Soy electo diputado de este distrito” y Q = “disminuyo los impuestos”, P → Q significa: “Si soy electo diputado de este distrito, entonces disminuiré los impuestos” o “Sólo si soy electo diputado de este distrito, disminuiré los impuestos”

La proposición P se llama antecedente y la proposición q se llama consecuente de la condicional o implicación. 

 Algunos usan el símbolo ⇒ o → 

La operación de la implicación puede representarse con la siguiente tabla:

Variables de la condicional 

• Proposición directa p ⇒ q (Si p, …..entonces q) 

• Proposición recíproca q ⇒ p (Si q, …..entonces p) 

• Proposición inversa ~p ⇒ ~ q (Si no p, …..entonces no q) 

• Proposición contrapositiva ~q ⇒ ~ p (Si no q, …..entonces no p)

Algunos ejemplos:

Sean las proposiciones p: Daniel vive en Chamelco; q: Daniel vive en Alta Verapaz 

1. Proposición recíproca q ⇒ p (Si q, …..entonces p) Si Daniel vive en Alta Verapaz, entonces Daniel vive en Chamelco 

2. Proposición inversa ~p ⇒ ~ q (Si no p, …..entonces no q) Si Daniel no vive en Chamelco, entonces Daniel no vive en Alta Verapaz 

3. Proposición contrapositiva ~q ⇒ ~ p (Si no q, …..entonces no p) Si Daniel no vive en Alta Verapaz, entonces Daniel no vive Chamelco.

La Bicondicional 

Este conectivo también es llamado doble implicación o teorema recíproco. La bicondicional sólo es verdadera si sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambos son Verdaderos o ambos son Falsos. Refleja el sentido de “si y sólo si”, “equivale a”. 

Se representa por medio de una flecha doble: “↔”. 

Por ejemplo, sea P = “Hoy es domingo” y Q = “Mañana será lunes”. P ↔Q significa: “Hoy es domingo si y sólo si mañana será lunes”, o “Hoy es domingo equivale a que mañana será lunes”.

También se utiliza el símbolo ⇔ 

La operación de la bicondicional puede representarse con la siguiente tabla:

Algebra Proposicional 

• Leyes de Morgan 

Las leyes de Morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica, creada por Augustus De Morgan (1806-1871) 

Las leyes De Morgan son muy útiles cuando se quiere encontrar equivalentes para proposiciones que se obtienen por negación de proposiciones compuestas. 

• La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones: ~(𝑝^𝑞)= ~p v ~ q 

• La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones: ~(𝑝 𝑣 𝑞)= ~p ^ ~ q

Ejemplo: 

• Utilice la Ley De Morgan para escribir la negación de la proposición. Un año tiene 12 meses y una semana tiene 5 días. 

p=Un año tiene 12 meses 

 q= Una semana tiene 5 días ~(𝑝^𝑞)≡ ~p v ~ q 

Entonces la negación de la proposición es:  Un año no tiene 12 meses o una semana no tiene 5 días.

Negación de la Condicional y Bicondicional 

En las proposiciones (𝑝 ⇒q) ≡ (p⇔q) las equivalentes a sus respectivas negaciones son: 

 ~(𝑝 ⇒q) = p^ ~q 

~(𝑝 ⇔ q) =( p^ ~q) v ( q^ ~p)

Ejemplo: 

Negar la proposición Si la Tierra es un planeta, entonces una estrella es un astro. 

 p= la Tierra es un planeta 

q= una estrella es un astro 

~(𝑝 ⇒q) = p^ ~q 

Entonces la negación de la proposición es: La Tierra es un planeta y una estrella no es un astro

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